matematika

ucenicki forum


You are not connected. Please login or register

Zanimljive krive

Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Go down  Poruka [Stranica 1/1]

1 Zanimljive krive on Sun Jan 27, 2013 6:33 am

xy^2

avatar
Admin

U najjednostavnijem slucaju, srce je formirano nad kvadratom. Dva polu-kruga leze na bocnim stranama.


Srce nastalo tako sto su nacrtana 2 polugruga nad jednom stranicom trougla

Srcolika kriva koju cine 3 polukruga

Imamo dva jednakokraka trougla sa zajednickom osnovicom. Nad kracima trougla manje povrsine konstruisemo 2 polukruga. Dobijamo srcoliku krivu.

Vidi profil korisnika

2 Re: Zanimljive krive on Sun Jan 27, 2013 6:39 am

xy^2

avatar
Admin

Nacrtamo 2 kruznice koje se dodiruju i njihovu zajednicku tangentu. Zatim jos po jednu vanjsku tangentu iz jedne tacke, koja se nalazi na prvoj tangenti. Dobicemo srcoliku krivu.



Nacrtati kvadrat, zatim 4 kruznice ciji su centri vrhoci kvadrata, a poluprecnik polovina duzine stranice kvadrata. Nastaje srcolika kriva


Nacrtano elipsu koju rotiramo za 45 stepeni u oba smjera. Te 2 elipse postavimo tako da se sijeku. Ove 2 elipse formiraju 2 srca

Vidi profil korisnika

3 Re: Zanimljive krive on Sun Jan 27, 2013 6:41 am

xy^2

avatar
Admin

Nacrtati grafik funkcije f(x)=sinx za 0<x<π/2. Zatim ga rotirati za 90
stepeni u oba smjera. Ove dvije slike postaviti tako da imaju jednu zajednicku tacku (vrh). Nacrtati 2 polukruga na dio x ose koju odsjecaju ove 2 krive.


Nacrtati grafik funkvije f (x) = sin (x) na -π / 2 <x <π / 2.
rotirati krivu za 90 stepeni u oba smjera. Postaviti ove 2 krive tako da one i jedna duz cine trougao. Nad stranicom koju cini duz nacrtati2 polukruga.

Vidi profil korisnika

4 Re: Zanimljive krive on Mon Jan 28, 2013 10:51 am

xy^2

avatar
Admin

Crna elipsa ima formulu 2x^2-2xy+y^2-1=0; {x | x≥ 0}.
Crvena elipsa ima formulu 2x^2+2xy+y^2-1=0; {x | x ≤ 0}.

Ako koristitimo funkciju f (x) = | x |.
Tada y = | x | + (1-x^2)^(1/2) i y = | x |- (1-x^2)^(1/2) opisuju srcoliku krivu.



Vidi profil korisnika

5 Re: Zanimljive krive on Mon Jan 28, 2013 11:07 am

xy^2

avatar
Admin

Vidi profil korisnika

6 Re: Zanimljive krive on Wed Feb 26, 2014 12:35 am

xy^2

avatar
Admin
Johan Bernuli je 1696. godine postavio jedno interesantno pitanje bratu Jakobu:

“ Koja je ta kriva kojom ce tijelo uz uticaj gravitacione sile stici od tacke A do nize tacke B za najkrace vrijeme"

Zadatak su od grcke rijeci brachistochrone (koje znaci najkrace vrijeme), nazvali Brahistokronovim problemom. Kod rjesavanja problema dosli su i do zakljucka, da kad pustimo tijelo iz bilo koje tacke ove krive, tijelu ce uvijek trebati istovremeni period da bi stiglo do najnize tacke te krive. Jakob je tacno odgovorio : “Rjesenje je cikloida! “



Jedna od najpoznatijih krivi u istoriji matematike je cikloida. Cikloidu je prvi proucavao de Kusu, kasnije Mersen. Kriva je dobila ime po Galileju 1599. godine. On je pokusao da odredi povrsinu ispod jednog luka, ali bezuspjesno. Matematicki metod nije uspio da pronadje, te je izrezao komadice metala u obliku povrsine ispod cikloide i uporedjivao tezinu sa tezinom kruga koji generise cikloidu. Dosao je do rezultata da je cikloida teza oko tri puta od kruga, ali je on odbio da prihvati ovaj rezultat jer je vjerovao da odnos izmedju ove dvije tezine, treba da bude iracionalan. Ispostavilo se da je Galilejev eksperimenat zaista dao tacan rezultat.

Roberval je 1628. godine odredio povrsinu cikloide koristeci novi metod “beskonačno malih”, koji je razvijen od strane Kavalijerija , Ferma i Dekarta, kao i Robervala, medjutim svaki od njih je pronasao drugaciji metod za povlacenje tangente na ovu krivu. Toriceli, ucenik Galileja je 1644. godine objavio svoje otkrice o povrsinama i tangentama cikloida.

Cikloida je, u tom dobu, bila jedna od najpopularnijih problema matematike, mnogi sporovi i ljubomore su nastale vezani za nju, zato je postala poznata po imenu “Helena geometricara”. U skladu sa Arhimedovom tradicijom, Hajgens, Lajbnic i Johan Bernuli su trazili posebne dojelove regiona cikloide cije su povrsine jednostavnog pravolinijskog oblik




Ova slika ilustruje njihovu zajednicku stavku. Svaki cikloidni luk je opisan jednim pravougaonikom koji je prepolovljen po horizontalnoj srednjoj liniji, sa kotrljajucim krugom u centru.

Godine 1658. Hajgens je pokazao da dio cikloide odsjecen isprekidanom linijom na slici (a), koja prepolovljava gornju polovinu pravougaonika, ima povrsinu jednaku polovini upisanog pravilnog sestougla u kotrljajuci krug, ili ekvivalentno - jednaka povrsini osjencanog jednakostranicnog trougla upisanog u isti krug.

1678, Lajbnic je dokazao da segment cikloida na slici (b) ima istu povrsinu kao i osjencani pravougli trougao, ciji su kraci jednaki poluprecniku kruga.

1699, Bernuli je prosirio oba rezultata, koristeci dvije horizontalne isprekidane linije, jednako udaljene od srednje i gornje linije kao sto je na slici (c) i (d).

On je dokazao da je povrsina segmenta cikloida na slici (c) zbir povrsina dva osjencana pravougla trougla, dok je manji segment cikloide na slici (d) predstavlja razliku povrsina pravouglih trougla. Dijagram na slici (c) se pojavljuje na naslovnim stranicama sva cetiri toma sabrana djela Bernulija.


Kinematicki metod opisivanja krive potice iz mehanike, a opisuje krivu kao putanju po kojoj se krece tacka koja slijedi odredjene zakone fizike.



Data kruznica r poluprecnika a, koja se kotrlja po x osi. Tacka sa njene periferije pri tom kotrljanju opisuje cikloidu.

Neka je tacka O (koordinatni pocetak) pocetni polozaj tacke A (na slici M) koja opisuje cikloidu

t je ugao za koji se kruznica obrnula (ugao e ACB na slici ugao  MCQ)

Vidi profil korisnika

Sponsored content


Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Na vrh  Poruka [Stranica 1/1]

Permissions in this forum:
Ne možete odgovoriti na teme ili komentare u ovom forumu