matematika

ucenicki forum


You are not connected. Please login or register

Kvadratne jednacine

Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Go down  Poruka [Stranica 1/1]

1 Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 4:36 am

xy^2

avatar
Admin

Matematicki jezik sluzi nam da se lakse izrazimo i da usavrsavamo teoriju. On je proizvod razvoja dugog 25 vijekova. Najplodniji period razvoja matematickog jezika bila su posljednja 2 vijeka. Matematicke teorije izkazivane su deskripotivno.
Interesantno je kako se razvijala aritmetika. Ona je bila pokusaj sinteze euklidovske geometrije i pitagorejske aritmetike.
Elementarna geometrija razvila se 1000 godina ranije i bavila se prostornim odnosima i osobinama uglavnom simetricnih figura. Anticka grcka misao nije razdvajala ove oblasti od filozofije i estetike, a isto se odnosilo na broj i aritmetiku. U svemu je trazena harmonija, proporcija i simetrija, a to je uoblicavano u aristotelovske sisteme dedukcije i opste logičke zakone.

Posmatrajmo problerm rjesavanja jednacina drugog i treceg stepena (neke nepoznate puteve). Arapski matematicari uspjesno su se bavili slozenijim problemima. Ako uzmemo u obzir da se Dekartova analiticka geometrija javila 1000 godina kasnije njihove ideje i postupci bili su genijalni. Za konkretne probleme u trgovini, nasljedjivanju i raznim proracunim trebalo je pronaci najefikasniji nacin koristeci se geometrijom novo uvedenom terminologijom i podesnim indijskim brojkama, kao i bitno drugacijim pristupom dotadasnjoj geometriji Danas mi koristimo termin aritmetikom kroz geometriju.
Ne mozemo reci da su Arapi izmislili geometrijski pristuo algebri. Oni su vecu paznju poklanjali broju i aritmetici. Kod Grka ona nije bila na cijeni, ako izuzmemo Patagoru. Brojeve su zapisivali slovima koristeci njihovu poziciju a alfabetskom poretk;
tri eneade, za jedinice, desetice i stotine, znak za nulu nije bio poznat.

Algebarsko pravilo za kvadrat binoma( Euklidovi Elementi

(x+y)^2=x^2+2xy+y2

ima svoju interpretaciju u II knjizi Elemenata.




Ako se data duz proizvoljno podijeli, kvadrat nad cijelom duzi jednak je zbiru kvadrata nad odseccima i dvostrukog pravougaonika.

Vidi profil korisnika

2 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 5:01 am

xy^2

avatar
Admin
Pitagorejci su se bavili sljedecim problemima geometrije:

Konstruisati pravolinijski lik slican datom pravolinijskom liku i jednak drugom datom pravolinijskom liku. [ na datoj duzi konstruise se parallelogram jednak datom pravolinjskom liku i slican datom paralelogramu. Konstrukcija ne podrazumjeva da ce cijela duz predstavljati duzinu paralelograma]

Ovdje imamo 3 slucaja:

1. Duz AB jednaka je stranici paralelograma AB=AN
2. AB>AN ( paralelogram nad preostalim dijelom NB duzi je manjak)
3.AB<AN (parallelogram nad nastavkom NB duzi je visak)

Arapski matematicari pridavali su veliki znacaj Euklidovim tvrđenjima

Neka je data duz AB. Podijelimo tu duz tackom na jednake I tackom D na nejednake dijelove. Zbir kvadrata obuhvacenog nejednakim dijelovima duzi i kvadrata nad duzi izmedju dionih tacaka bice jednak kvadratu nad polovinom duzi.





AD*DB+CD^2=CB^2

Povrsinu NOP oznacimo sa P, a povrsinu pravougaonika sa dijagonalom AH sa π iz prethodne jednakosti imamo:

AD*DB=AD*DO=π=P

Za (AB=a & BM=x)=>AD=a-x I za povrsinu NOP= b2 na osnovu Euklidovih stavova imamo

(a-x)x=b^2
Odnosno na datoj duzi a treba konstruisati pravougaonik koji ce biti jednak datom kvadratu b^2 sa manjkom u obliku kvadrata x^2=DHMB

Ovdje treba naci x iz kvadratne jednacine (nalazimo ga na nacin kako se to danas radi)


Dobili smo jednacinu koja podsjeca na Pitagorinu teoremu ( pravougli trougao sa katetama (a/2)-x i b i hipotrenuzom a/2 [ tacka D dobija se knstrukcijon tacke D iz navedenog trougla]





Vidi profil korisnika

3 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 5:11 am

xy^2

avatar
Admin
Arapski matematicar Omar al-Hajami kaze:

Ko god misli da algebra podrazumjeva vjestinu u radu sa nepoznatim velicinama, u zabludi je. Ne treba obracati paznju na cinjenicu da su algebra i geometrija razlicite u svojoj pojavi.

Ovo su pravci razmisljanja na koje je grcka misao odvela arapske matematicare.



xy^2: komentar modifikovan dana: Sun Mar 06, 2011 7:12 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

4 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 5:23 am

xy^2

avatar
Admin
Arapska dostignuca u geometrijskoj algebri, prije svega kod al-Horezmija i al-Hajama.

JEDNACINE II STEPENA

TRAKTAT AL-HOREZMIJA.

Pun naziv al-Horezmijevog algebarskog traktata je Al-LJitab al-Muhtasar fi Hisab al-Jabr nj’al-Muljabalah.

Ovaj traktakt se sastoji od tri dijela:

1. algebarskog dijela (sa malom glavom o prostom trojnom pravilu),
2.geometrijskog dijela o mjerenjima
3.opsirne knjige o zaveštanjima .

Najvazniji latinski prevodi ovog djela su seviljski prevod Roberta iz Cestera (1145) i toledski prevod Gerarda iz Kremone (1114-1187).

Terminologija al-Horezmija

On kaze da ljudi u aritmetici rade sa prostim brojevima - dirhem (od grc.

novcana jedinica).

U algebri se razmatraju tri vrste brojeva:

dirhem, jizr (xizr = korijen) ili shay (šaj = stvar) i mal (novcana suma, imovina).
Prema al-Horezmijevom tumacenju, xizr bi bio nepoznata ili korijen, a mal kvadrat.

Do prije nekoliko vijekova koriscenje negativnih brojeva se izbjegavalo. U XVI veku evropski matematicari su ove brojeve nazivali u numeri fictici. Razloge za to sasvim dobro je obrazložio Augustus de Morgan 1831. godine:

Imaginarni izrazi (-a)^(1/2) i negativan izraz --b su slicni u tome što se oba pojavljuju kao rjesenja zadataka koji oznacuva apsurd.

Realno gledajuci oba su imaginarna



xy^2: komentar modifikovan dana: Tue Jun 18, 2013 10:26 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

5 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 7:11 am

xy^2

avatar
Admin
Al-Horezmijevo izlaganje je  deskriptivno. On   ukazuje na postojanje brojnih kvadratnih iracionalnosti i naziva ih jizr asam ( nijemi ili gluvi korijen)
Smatra se da je to prevod grčke rijeci

(ona je neizraziv pojam u smislu da ne postoji odnos izmedju rijeci i pojma tj ne odnosi se na nista)

Gerardo iz Kremone preveo je asam sa surdus (gluv) i ta riječ sacuvala se do XVIII vijeka paralelno sa rečju irrationalis.

Negativni koeficijenti su izbjegavani, što je i dovelo do toga da al-Horezmi klasifikuje sest osnovnih tipova kvadratnih jednacina umjesto jednog. Nazivamo  ga kanonskim

x2+bx+c=0


Postoji  dosljednost u izjednacavanju koeficijenta uz kvadrat sa jedinicom. Iracionalne  velicine al-Horezmi veoma rijetko koristi; one se javljaju samo u nekoliko jednacina tipa
x^2=q

kod jedne potpune kvadratne jednacine

10x=(10-x)^2
x^2-100=30x



xy^2: komentar modifikovan dana: Tue Jun 18, 2013 10:38 am; prepravljeno ukupno 2 puta

Vidi profil korisnika

6 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 7:23 am

xy^2

avatar
Admin
Podjela kvadrtnih jednacina po al-Horezmiju

1. ax^2=bx [ kvadrati su jednaki korenima (mal = xizr)]
2. ax^2=bx [ kvadrati su jednaki broju (mal = dirhem)]
3. ax=c [korjeni su jednaki broju (xizr = dirhem)]
4. ax^2+bx=c [kvadrati i koreni su jednaki broju (mal + xizr = dirhem)]
5. ax^2+c=bx [ kvadrati i brojevi su jednaki korjenu (mal + dirhem = xizr)],
6. bx+c=ax^2 [korjeni i brojevi su jednaki kvadratu (xizr + dirhem = mal)].

Za rjesavanje bilo koje drugacije jednacine potrebno je da ona bude svedena na neki od navedenih tipova.
U slucaju da se pojave umanjioci, njih eliminisemo operacijom al-xabr, tj. dopunjavanjem. To podrazumjeva da se objema stranama jednakosti dodaju clanovi jednaki umanjiocima (bilo da su oni tipa dirhem, xizr ili mal). Sve istovrsne clanove zatim svodimo na jedan jedini operacijom al-mukabala, tj. sravnjivanjem.
Primjetna je tendencija da se vodeci koeficijenat kvadratne jednacine svede na jedinicu zato što su pravila resavanja jednacina tipa 4-6. formulisana za takav slučaj.

Navedene operacije nasle su mjesto u nazivu traktata.

Primjer

x^2+(10-x)^2=58
2x^2+100-20x=58
Svodi je na jednacinu
2x^2+100=58+20x (al-xabr)
A zatim na jednacinu petog tipa
x^2+21=10x ( al-mukabala).


Zapadni Arapi iz Spaniji, glas xim nisu izgovarali x, vec kao g, a time I riječ al-xabr kao al-gabr.

U ovom obliku rijec algebra usla je u sve evropske jezike. Njeno znacenje bilo je dopunjavanje.

al-Horezmi jednacinu ax^2=bx smatra linearnom. Rjesenje x=0 ne uzima u obzir, jer nije interesantno u primjenama.

U jednacini ax^2=c nepoznata se ne javlja samo kao korijen, vec i kao kvadrat, pa al-Horezmi naglasava koje je njeno resenje po korijenu, a koje po kvadratu.

Za jednacinu x^2=5x on navodi korijen je x=5 i kvadrat x^2=25, jer je
x=5=> x^2=25


Vidi profil korisnika

7 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 2:40 pm

xy^2

avatar
Admin
Al-Horezmi  nalazi rjesenja pomocu dvije razlicite konstrukcije, koje  odgovaraju dopuni do kvadrata.

Zadatak 1

Data je jednacina
x^2+10x=39



Al-Horezmi konstruise   kvadrat x^2, nad  njegovim ivicama konstruise 4 pravougaonika visine 10/4.
U  uglovima veceg  kvadrata dobijaju se 4  kvadrata cija je ivica jednaka visini pravougaonika. Povrsina velikog kvadrata je  
39+4*(10/4)2 =39+4*100/16=39+100/4=39+25=64
a ivica x+2*10/4=8 [ cilj resavanja je da se dobije ivica (xizr iz mala)], pa  imamo

x=8-2*10/4=>8-5=3


Uopsteno za jednacine cetvrtog tipa vazi;
x^2+px=q=q+4*(p/4)^2

Algebarske  transformacije koje odgovaraju geometrijskim su




Kvadrat se moze dopuniti i na sljedeci naci
Rijec je  o sledecim algebarskim transformacijama:

x^2+2*(px/2)+(p/2)^2=q+(p/2)^2 jer je  p=10, q=39 i
x^2+2*(10x/2)+(10/2)^2=39+(10/2)^2 proizlazi
x^2+2*5x+25=39+25 <=> x^2+10x=39



xy^2: komentar modifikovan dana: Mon Jun 17, 2013 11:01 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

8 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 2:50 pm

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 2


Posmatracemo jednacinu petog tipa
x^2+q=px
.
Al-Horezmi je znao da ovakve jednacine mogu imati:
1. dva pozitivna korjena
2. jedan dvostruki)
3. nijedan oba imaginarna.

Rijesimo jednacinu

x^2+21=10x

Uputstvo:
Ako prepolovimo korjen imacemo 5.
Pomnozimo li ga samimi sobom dobijamo 5*5=25.
Od toga oduzmemo 21, 25-25=4
Izvadimo iz toga korijen dobijamo 2.

Oduzmemo od polovine korjena 5-2=3. Dobili smo korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 9.
Mozes dopuniti polovinom korjena bice 7 I toje korjen kvadrata koji trazimo. Kvadrat je 49.

Treba znati:

kad god prepolovljavimo korijene i mnozimo samima sobom, ako je proizvod manji od dirhema dodatog kvadratu, zadatak je nemoguc, a ako je jednak dirhemu, korjen kvadrata jednak je polovini korjena bez dodavanja i oduzimanja...”


Geometrijski dokaz razdvaja pravilo za peti tip na dva slucaja, tj. na korjene:



Za drugi slucaj u oksfordskom arapskom rukopisu receno je samo to da se korijen dobija ako duži DH dodamo JH. Moguce je da je al-Horezmi znao da konstruise rjesenje tog slucaja, ali je problem nastao kod prepisivaca i prevodilaca. Vratimo se prvom korijenu:

Pravougaonik GCDE ima ivice GC = p i CD = x , a cine ga kvadrat ABCD = x^2 i njemu dodati pravougaonik GBAE = (p-x)x=q[x<p/2].
U tacka F koja je sredina duzi GC konstruisemo vertikalu FH, koju produzimo za AH=HK=(p/2)-x.
Dopunimo kvadrate GFKM=(p/2)2 I JHLM=[(p/2)-x]^2.
Po konstrukciji pravougaonici EJLM i FBAH su jednaki, pa je kvadeat JHKL jednak razlici kvadrata GFKM i zbira pravougaonika GFKM i EJLM:





xy^2: komentar modifikovan dana: Sun Mar 06, 2011 2:55 pm; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

9 Re: Kvadratne jednacine on Sun Mar 06, 2011 2:54 pm

xy^2

avatar
Admin





Vidi profil korisnika

10 Re: Kvadratne jednacine on Fri Mar 11, 2011 10:46 pm

xy^2

avatar
Admin
ABU-KAMIL.  Abu Kamil (850-930) je egipatski arapski naucnik i jedan od najuspjesnijih nastavljaca djela al-Horezmija. Njegova je algebra ogranicena na kvadratne jednacine kao i kod al-Horezmija, a svoj traktat zapocinje rjesenjima kanonskih tipova. Analogno, njegova resenja su geometrijske prirode.
Mnogi postupci abu-Kamila slicni su al-Horezmijevim, ali je kod njega od svih staroarapskih matematicara najizrazenija ravnopravnost korjena jednacine i kvadrat tog korjena. Novost je u tome sto abu-Kamil ne predstavlja obavezno mal  kvadratom ili xizr preko duzi, vec kod njega kvadrat moze biti predstavljen preko duzi i sl, sto omogucava upotrebu vecih stepena (npr. mal-mal , tj. kvadrat kvadrata ili cetvrti stepen itd).
Glavne zasluge abu-Kamila su te sto se u izlaganju njegove algebre mogu zapaziti unapredjenje teorijskog nivoa (odvajanje od konkretnih primjena) i jaka tendencija ka aritmetizaciji, bez obzira na koriscenje geometrije u dokazima. On sasvim otvoreno iskazuje opste algebarske identicnosti i redovno skrece paznju citaocu na njihov znacaj. U primjerima koje izlaze, kvadratne iracionalnosti tretirane su uvijek kao brojevi, odnosno kao objekti cisto aritmeticke prirode - bilo kao korjeni jednacina, bilo kao koeficijenti.


JEDNACINE III STEPENA

OMAR AL-HAJAM.

Omar al-Khayyam (oko 1040-1123) je Persijanac ciji se veliki rezultati u matematici prije svega odnose na izucavanje kvadratnih jednacina, konusnih presjeka i korjena kubnih jednacina. Njegov postupak rjesavanja kubnih jednacina moze se koristiti za nalazenje svih realnih korjena jednacina III stepena, a opisan je u djelu Al-Jabr nj’al-Muljabalah. Pored njegove svestranosti u matematici, al-Hajam je sire poznat na Zapadu po zbirci svoje filozofske poezije Rubaiyat.
Uspjesno je rjesavao kvadratne jednacine geometrijskim metodom - dopunom kvadrata, u cemu mnogo podsjeca na al-Horezmija. Klasifikacija sadrzi sest kanonskih tipova jednacina drugog stepena, a u nekim konstrukcijama al-Hajam se poziva direktno na Euklida. Naravno da i al-Hajam izbegava direktno da  pominje upotrebu negativnih korjena kvadratnih jednacina, ali tu moramo imati na umu sljedece cinjenice : neka je -r  (r > 0) negativan korjen jednacine
x^2+bx=c.
Imamo
(-r)^2+b(-r)=c
r^2=br+c tj r>0 pozitivan korijen jednacine x^2+bx=c.

Apsolutna vrijednost negativnog korjena prve jednacine je pozitivan korijen druge jednacine i obratno.



xy^2: komentar modifikovan dana: Tue Jun 18, 2013 10:53 am; prepravljeno ukupno 3 puta

Vidi profil korisnika

11 Re: Kvadratne jednacine on Fri Mar 11, 2011 11:17 pm

xy^2

avatar
Admin
PARABOLA I KUBNI KORJEN.
Kada se suocimo sa jednacinama treceg stepena, nastaju mnogo veci problemi nego sto je to slucaj sa kvadratnim jednacinama. Jasno je da nikakvim dopunama do kvadrata ne mozemo naci korjene kubnih jednacina, pa je zato neophodno da pribjegnemo drugacijim rjesenjima.
Izlaz za ovaj problem nude nam konusni presjeci kao sto su parabola i (pravougaona) hiperbola.
Kao dovoljno ilustrativan primejr konstrukcije konusnog presjeka, konstruisacemo parabolu, a zatim kubni korjen.
Konstrukcija kubnog korjena zasniva se na osobini koju su uocili jos grcki matematicari:



mozemo smatrati jednacinama dvije parabole cije su ose normalne, a tjeme im je u istoj tacki. Na ove cinjenice treba dobro obratiti paznju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korjena.




Al-Hajam je prihvatio grcki postupak konstruisanja parabole. Naime, ako je AB duz, tada je parabola sa tjemenom B i parametrom AB takva kriva p za koju, ukoliko tacka C pripada krivoj p, za pravougaonik CDBE vazi:
BE^2=AB*BD
Kako su Dekartove koordinate tacke C zaista (BE,BD), ova je jednakost vrlo bliska kanonskoj jednacini parabole: y^2=2px
Konstrukciju parabole, koristimo za konstrukciju kubnog korjena, a za konstrukciju tacaka parabole konstrukciju kvadratnog korjena.

Vidi profil korisnika

12 Re: Kvadratne jednacine on Fri Mar 11, 2011 11:25 pm

xy^2

avatar
Admin

Sada mozemo da razmortimo samu konstrukciju kubnog korjena c^3=b. Neka je b proizvoljan pozitivan broj ili duzina duzi i oznacimo ga b = AB. Konstruisimo tacku C takvu da je CB normala na AB u tacki B i CB = 1. Prema navedenoj konstrukciji, konstruisimo parabolu sa tjemenom B i parametrom AB, kao i parabolu sa istim tjemenom i parametrom CB. Oznacimo sa E presjek tih dviju krivih i konstruisimo pravougaonik BFEG. Tada je:
FE^2=AB*BF
GE^2=CB*BG
Za c=GE=BF I d=BG=FE imamo
(d^2=bc c^2=1*d)=>c^4=bc=>
c^3=b(c≠0)=>c=b^(1/3)
Grcki  matematicari su temeljito izucili osobine konusnih presjeka, sto je kulminiralo Apolonijevim djelom Konike iz 200. god. pne
Izbegavanje negativnih koeficijenata ponovo je razlog zasto se kod al-Hajama javljaju tipovi kubnih jednacina. Na sasvim slican nacin na koji je on (a prije njega al-Horezmi) postupio sa kvadratnim jednacinama, izvedeno je devetnaest tipova kubnih jednacina koje su iskazane koristenjem iskljucivo pozitivnih koeficijenata.

Medju navedenih devetnaest, pet tipova mogu da se svedu na kvadratne jednacine, dok preostalih cetrnaest al-Hajam rjesava pomocu konusnih presjeka. Na taj nacin moguce je pronaci sve pozitivne korjene svakog tipa. Umjesto razmatranja svakog tipa pposebno, D.Nj. Henderson predlaze vrlo prosta svodjenja ovih cetrnaest tipova na samo tri, pored onih tipova koji su vec rijeseni ranijim konstrukcijama (npr. x^3=b), a zatim daje al-Hajamova rjesenja za te tipove. Uvedimo smjenu u kubnu jednacinu ciji je vodeci koeficijenat 1.



xy^2: komentar modifikovan dana: Tue Jun 18, 2013 11:00 am; prepravljeno ukupno 2 puta

Vidi profil korisnika

13 Re: Kvadratne jednacine on Fri Mar 11, 2011 11:41 pm

xy^2

avatar
Admin

Kubnu jednacinu sveli smo na na oblik u kome se ne pojavljuje kvadrat, vec samo kub , linearni i slobodni clan. Ovim se bitno smanjuje broj kombinacija za tipove sa svim pozitivnim koeficijentima, pa umjesto cetrnaest, sada imamo samo cetiri tipa koja nisu prethodno rjesena:

Ovakvo svodjenje al-Hajam nije mogao da izvede zbog nepostojanja prikladne matematicke simbolike, ali nama je ovom prilikom korisno da skratimo postupak u cilju izbjegavanja mogucnosti da nam zbog velikog broja tipova kubnih jednacina izmaknu najvaznije al-Hajamove ideje i metodi.
Pokazuje se da je za nalazenje svih korjena svih kubnih jednacina potrebno pronaci postupak za resavanje tipova 1 - 3, sto je dovoljno da bi se resio i navedeni tip 4. Pre nego sto razmotrimo resenje prvog od ovih tipova, pomenimo samo da je al-Hajam gajio nadu da ce buduce genaracije matematicara mozda biti u stanju da resavaju jednacine stepena vecih od tri.




xy^2: komentar modifikovan dana: Sat Mar 12, 2011 11:03 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

14 Re: Kvadratne jednacine on Sat Mar 12, 2011 12:16 am

xy^2

avatar
Admin
Al-Hajamova rjesenja kubnih jednacina podrazumevala konstrukciju parabole i pravougaone hiperbole. Buduci da se za rjesavanje drugog i treceg tipa koristi pravougaona hiperbola, a da smo se ovom prilikom zadovoljili konstrukcijom parabole, razmotricemo samo tip za cije je rjesenje neophodna parabola.

Rijesimo jeddnacinu
x^3+ax=b



Neka je duz AB ivica kvadrata takva da je
AB^2=a.
Konstruisimo tijelo cija je povrsina baze jednaka povrsini kvadrata nad AB, a zapremina datom broju b (konstrukcija je opisana u knjizi D.Nj. Hendersona). Neka BC bude visina tog tela (koja je normalna na AB ), tj.
b=AB^2*BC=a*BC.

Konstruisimo parabolu sa parametrom AB i tjemenom u tacki B, pa ce tada BC biti tangenta na geometrijsko mjesto tacaka te konike (kroz tacke B i D) u tacki B. Opisimo polukrug nad BC koji mora da sijece koniku u tacki D. Iz ove tacke konstruisimo dvije normale DZ i DE na BZ i BE respektivno. Trazeni korijen je tada EB.

Koristeci savremenu simboliku, al-Hajamov dokaz sastoji se u tome sto iz osobina parabole i kruga (a parabolu smo detaljnije razmotrili),slijedi

Ovim smo, dokazali da je EB zaista korijen jednacine prvog tipa x^3+ax=b
Posto se sa porastom vrijednosti promenljive x povecava i vrijednost izraza x^2+ax, postoji samo ovaj jedinstveni korijen.

Vidi profil korisnika

15 Re: Kvadratne jednacine on Sat Mar 12, 2011 10:23 am

xy^2

avatar
Admin
KARDANOVI OBRASCI

Poslije pregleda najvaznijih dostignuca u arapskoj algebarskoj skoli, moze izgledati da se sada udaljujemo od teme. Medjutim, rezultati italijanskog matematicara Djirolama Kardana (Girolamo Cardano, XVI vijek) jasno se nastavljaju na al-Hajamove metode rjesavanja kubnih jednacina i pokazuju kako je u arapskoj matematici indirektno utemeljena teorija kompleksnih brojeva.

Mada se vecina istorijskih izvora slaze da al-Hajam nije otkrio negativne korjene kubnih jednacina (sto se pripisuje Kardanu), ti izvori zanemaruju cinjenicu da su njegovi postupci sasvim dovoljni za nalazenje tih korjena. Kardanovi algebarski obrasci objavljeni su u djelu Artis Magnae 1545. godine i smatraju se prvim opstim rjesenjem kubnih jednacina.

e iznenadjuje to sto je Kardano koristio samo pozitivne koeficijente i sto njegova klasifikacija kubnih jednacina obuhvata trinaest tipova kao kod al-Hajama, izuzimajuci jednacine svodljive na kvadratne, kao i onu x^3=c

Za  svaki tip posebno Kardano je izveo geometrijske dokaze. Razjasnili smo kako se dolazi do jednacine x^3+ax+b=0, pri cemu cemo sada dopustiti da a i b  budu negativni ili pozitivni. Kardanova smjenaje oblika



xy^2: komentar modifikovan dana: Tue Jun 18, 2013 11:17 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

16 Re: Kvadratne jednacine on Sat Mar 12, 2011 10:26 am

xy^2

avatar
Admin
Buduci da u to vrijeme nije bila izgradjena teorija kompleksnih brojeva, Kardanov zakljucak je bio da navedeni postupak nije prikladan za ovu jednacinu, kao i sve one ciji je kub jedne trecine koeficijenta uz x veci od kvadrata jedne polovine konstante u jednacini.
Danas znamo da svaki kompleksan broj ima tri kubna korjena, pa je posljednja jednakost viseznacna. Vazna je cinjenica da su Kardano i drugi matematicari tog vremena poceli da ispituju moguci smisao kompleksnih brojeva, pa je time zapoceta izgradnja teorije kompleksnih brojeva.

Vidi profil korisnika

17 Re: Kvadratne jednacine on Sat Mar 12, 2011 10:43 am

xy^2

avatar
Admin
DAVID NJ. HENDERSON

O istoriji razvoja matematicke misli malo se govori u savremenom obrazovnom procesu. Matematika u svom sadasnjem vrlo razvijenom, ali i razudjenom obliku, posjeduje sredstva koja joj omogucavaju jos veci zamah. To nije uvijek pristupacno mnogim mladim talentovanim ljudima jer ih sputava u smislu intuitivnog i kreativnog razmisljanja, a usmjerava ih na ucenje za njih do tada nepoznatog i novog - matematickog - jezika. Upravo je matematika primjer nauke koja bi trebalo da se kloni bilo kakvog sablona i ustaljenih nacina misljenja. Takve seme mogu da se otklanjaju, izmedju ostalog, i stalnim pogledima unazad - u djela nasih daljih i blizih prethodnika jer upravo su oni temelji koji drze danasnje matematicko zdanje.

Mozemo se sloziti sa Henderson-om da je od velike vaznosti poklanjanje paznje znacenju pojmova u matematici. Ta znacenja ne treba uzimati onakvima kakva su po sebi, vec treba vrlo pazljivo osluskivati i na kreativan nacin razjasnjavati krije li se u tom pojmu jos nesto cega nismo svjesni.
Primer za takve napore imamo u trenucima kada al-Horezmi naslucuje negativne brojeve kroz termin nijemi korjen (jizr asam) ili kada Kardano zalazi u teoriju kompleksnih brojeva nedoumicama o nepodesnosti svog obrasca za rjesavanje kubnih jednacina. Drugi nacin za ispitivanje znacenja pojmova bilo bi proucavanje matematicara iz starine i stalno postavljanje pitanja:
Zasto su to oni tako uradili?
Ili
Zasto to nisu tako uradili?
Na primer, zasto su rani algebristi toliko insistrirali na geometrijskim dokazima? Izgleda ponekad da su matematicari minulih vijekova bili mnogo svjesniji kompaktnosti i chelovitosti sveukupne matematike neko sto smo mi to danas.

Tako je u modernoj matematici data prednost analitickim nad starim geometrijskim dokazima, bez obzira sto su analiticki dokazi zasnovani na 150 godina starim Kosijevim predstavama i na aksiomi potpunosti. Jasno je, naravno, da je za vecinu matematicara intuitivno shvatanje realnih brojeva zasnovano na geometrijskoj realnoj pravoj. Henderson ovde postavlja vrlo prosto i zanimljivo pitanje - kako da shvatimo npr. mnozenje, a*b? Odmah je jasna geometrijska interpretacija preko povrsine pravougaonika, dok u uhodanom analitickom razumevanju mozemo imati dosta problema ako mnozimo dva beskonacna neperiodicna decimalna razlomka, kao npr. u slucaju


Ponekad u primjenama treba, kako svjedoci Henderson, dati prednost geometrijskim dokazima. Razlog tome moze biti npr. sto rezultat tog metoda nije broj, vec slikovit fizicki objekat, za cije nalazenje koristimo svoje ideje, a ne puku tehniku racunanja. Zbog toga geometrijski metod moze da bude srazmjerno brzi od numerickog. Posto je rjesenje fizicke prirode, ne moramo da brinemo o stepenu tacnosti rjesenja, a i neupucenima u problem metodoloski je mnogo lakse objasniti kako se do resenja doslo.

Vidi profil korisnika

Sponsored content


Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Na vrh  Poruka [Stranica 1/1]

Permissions in this forum:
Ne možete odgovoriti na teme ili komentare u ovom forumu