zadatak 1

Naci razlicite prirodne brojeve takve da je x^y=y^x

Zadatak 2

Naci prirodne brojeve takve da je x^y=y^(x-y)

Posmatrajmo funkciju



Ova funkcija je parna tj
f(x,y)=f(x,-y)=f(-x,y)=f(-x,-y)
Posmatrajmo funkciju u I kvadrantu odnosno za x≥0 i y≥0.
Posmatrajmo slucaj a=1
Graficki prikaz to je dio prave y=-x+1



Ovu duz preslikamo osnom simetrijom u II kvadrant. Osa simetrije y osa. Zatim duzine iz I i II kvadranta preslikamo u III i IV kvadrant. Simetrala x osa.
Grafik funkcije je kvadrat sa centrom u koordinantnom pocetku O(0,0), cija je diagonala 2.
Uopsteno duzina diagonale je 2a.

Uporedimo ovu funkciju sa funkcijom
x^2+y^2=a

Prva jednacina je jednacina kvadrata a druga kruznice.
Centar im je u koordinantnom pocetku. Duzina diagonale kvadrata i precnik kruznice su 2a.



U prvoj jednacini zbir dva realna pozitivna broja je pozitivan realan broj a. I u drugoj imamo isto, samo sto je prva linearna veza, a druga kvadratna, koja je uzrok zakrivljenosti.

Isto imamo posmatrajuci funkcije





Njima su odredjeni kvadrat i kruznica sa centrom u (p,q) i diagonalom i precnikom 2a

Posmatrajmo reelaciju



Vec smo vidjeli da je ova funkcija parna. Za x≥0 i y≥0 nacrtajmo polupravu. Zatim je preslikajmo u ostala 3 kvadranta. Osna simetrija u odnosu na x i y ose.

Ova slika podsjeca na hiperbolu, jednacine x^2-y^2=a^2. Imamo razliku dva realna pozitivna broja. Prva jednakost je linearna a druga kvadratna pa imamo pravce i zakrivljenost.

sami uraditi slucaj

Uporediti funkcije






Oba grafika nalaze se u poluravni y≥0.
Grafik prve funkcije je unija funkcija
y=x i y=-x.
Grafik druge funkcije je parabola.

Sami ispitati

Posmatrajmo funkcije



Grafik ovih funkcija ukazuje na analogiju izmedju romba i elipse

Zadatak 3

U skupu prirodnih brojeva N rijesiti jednacinu

1/x - 1/y = 1/5 - 1/xy

xy^2 (citat):Zadatak 3

U skupu prirodnih brojeva N rijesiti jednacinu

1/x - 1/y = 1/5 - 1/xy

1/x – 1/y =1/5 – 1/xy /*xy

5y-5x=xy-5
xy+5x-5y-5=0
xy+5x-5y-25=-20
(x-5)(y+5)=-20
(5-x)(y+5)=20
izrazi (x-5) i (y-5) su djelioci broja 20 i 0<5-x<5<y+5, pa je
1. 5-x=1 i y+5=20 => x=4 i y=15
2. 5-x=2 i y+5=10 => x=3 i y=5

Kako rijesiti sistem jednacina


Sistem cemo rijesiti pomocu Gausove metode (metoda eliminacije).
U sistem jednacina:
5x-y-z=0 (1)
x+2y+3z=14 (2)
4x+3y+2z=16 (3)
Izvrsicemo zamjenu mjesta dvie jednacine sistema
mnozenje (dijeljenja) neke jednacine sistema brojem razlicitim od nule dodavanjem jedne jednacine sistema drugoj jednacini sistema.
U nasen sistemu mjesta zamijene (1) i (2) jednacina

x+2y+3z=14 (1)
5x-y-z=0 (2)
4x+3y+2z=16 (3)
Prvu jednacinu pomnozimo sa (- 5) i dodamo drugoj

x+2y+3z=0 (1)
-11y-16z=-70 (2)
4x+3y+2z=0 (3)
Prvu pomozimo sa (-4) i dodamo trecoj

x+2y+3z=0 (1)
-11x-16z=70 (2)
-5y-10z=-40 (3)
Trecu podijelimo sa (- 5)

x+2y+3z=14 (1)
-11x-16z=-70 (2)
y+2z=8 (3)
Zamjenimo mjesta drugoj i trecoj jednacini
x+2y+3z=14 (1)
y+2z=8 (2)
-11x-16z=-70 (3)
Drugu pomnozimo sa 11 i dodani trecoj
x+2y+3z=14 (1)
y+2z=8 (2)
6z=18 (3)

Trecu jednacinu podijelimo sa 6
z=3
Vrijednost z uvestimo u drugu idobicemo
y+2z=8 =>y+6=8=>y=2
Vrijednosti z i y uvrstimo u prvu i dobicermo

x+2y+3z=14=>x+4+9=14=>x+13=14=>x=1

Rijesi sistem linearnih jednacine:
2x + 3y = 19
x + y = 8.

I nacin
U nekoj jednacini izracunat cemo jednu nepoznatu. Uvijek nastojimo naci nepoznanitu uz koju stoji najmanji koeficijent po apsolutnoj vrijednosti. Vrijednost za nadjenu nepoznanitu uvrtavamo u drugu
jednacinu.
U nasem slucaju izracunat cemo y iz druge jednacine:
2x+3y=19
x+y=8=>y=8-x
2x+3y=19=>2x+3(8-x)=19
2x+24-3x=19
2x-3x=19-24=-5 ( mnozimo jednacinu sa (-1))
x=5
y=8-x=3

II nacin
Iz obe jednacine izracunamo istu nepoznanitu pa njihove vrijednosti kompariramo, uporedimo, tj. izmedjunadjenih vrijednosti za istu nepoznanitu stavimo znak jednakosti.


III nacin

U obe jednacine uz istu nepoznatu nastojimo dobiti suprotne koeficijente. To su dva broja ciji je zbir jednak 0. Da bismo dobili suprotne koeficijente moramo ili jednu ili obe jednadžbe pomnoziti odgovarajucim brojem.
2x + 3y = 19
x + y = 8 / • (– 2)
Drugu jednacinu pomnozili smo brojem (-2).
2x + 3y = 19
– 2x – 2y = – 16.
Saberimo jednacine
2x + 3y – 2x – 2y = 19 – 16.
y = 3.

Nepoznatu x nadjemo tako da y = 3 uvrstimo u drugu jednacinu
x + y = 8 => x + 3 = 8 => x = 8 – 3 = 5.
Rezultat je (x, y) = (5, 3).

IV nacin

Pomnozimo, prvu jednavinu neodredenim koeficientom A, A ≠0:
2Ax + 3Ay = 19A
x + y = 8.
Dobijene jednacime saberemo :
2Ax + 3Ay + x + y = 19A + 8.
(2A + 1)x + (3A + 1)y = 19A + 8.
Ako izraz uz nepoznanitu x izjednacimo s nulom, dobit cemo:
2A + 1 = 0 => 2A = – 1 => A =-1/2
Jednacina glasi
(3A + 1)y = 19A + 8.
Za A=-1/2 dobijamo
[3*(-1/2)+1]*y=19*(-1/2)+8
-y/2=-3/2
y=3
x+3=8=>x=5

IV nacin

Pomnozimo, prvu jednavinu neodredenim koeficientom A, A ≠0:
2Ax + 3Ay = 19A
x + y = 8.
Dobijene jednacime saberemo :
2Ax + 3Ay + x + y = 19A + 8.
(2A + 1)x + (3A + 1)y = 19A + 8.
Ako izraz uz nepoznanitu x izjednacimo s nulom, dobit cemo:
2A + 1 = 0 => 2A = – 1 => A =-1/2
Jednacina glasi
(3A + 1)y = 19A + 8.
Za A=-1/2 dobijamo
[3*(-1/2)+1]*y=19*(-1/2)+8
-y/2=-3/2
y=3
x+3=8=>x=5

V nacin
Najprije objasnimo pojam determinante drugog reda.
Binom a* d-b*c naziva se determinantom drugog reda i oznacava



2x + 3y = 19
x + y = 8



VI nacin
metoda pretpostavke
Pretpostavimo da su u nasem sistemu jednacina rješenja jednaka, tj. x = y.
Iz druge jednacine
x + y = 8 =>2x=8=>x=4
Znaci da su x = 4 i y = 4. Dobijene rezultate uvrstimo u prvu jednacinu
2x + 3y = 19 => 2 • 4 + 3 • 4 = 19 => 8 + 12 = 19 => 20 ≠19.
Vidimo da je lijeva strana prve jednacine veca od 19. Zato za nepoznanatu x uzimamo broj koji je manji od 4. Vrijednost od x promijenimo za neki iznos p.
x = 4 – p.
Uvrstimo to u drugu jednadžbu x + y = 8:
4 – p + y = 8 => y = 8 – 4 + p => y = 4 + p.
Nove vrijednosti za x i y opet uvrstimo u prvu jednacinu:
2(4 – p) + 3(4 + p) = 19 => 8 – 2p + 12 + 3p = 19 => – 2p + 3p = 19 – 8 – 12 => p = – 1.
Sada je:
x = 4 – p = 4 – (– 1) = 4 + 1 = 5 , y = 4 + p = 4 + (– 1) = 4 – 1 = 3.

VII nacin)
(metoda ''snadji se''
Na prijemnim ispitima uz zadani sistem uvijek ponude 4 ili 5 rezultata od kojih je samo jedan tacan. Na
primjer,
2x + 3y = 19
x + y = 8.
A) (1, 4) B) (5, 3) C) (-3, 5) D) (4, 2) E) (7, 1).

Bez racunanja sistema bilo kojom metodom, jednostavno uvrstavajte koordinate x i y u jednacine i kada dobijete valjane jednakosti to je rezultat.
Rješenje je B) jer je
2 • 5 + 3 • 3 = 19 => 10 + 9 = 19 => 19 = 19
5 + 3 = 8 => 8 = 8.

VIII nacin (graficka metoda)
Nacrtamo pravce cije su jednadžbe
2x + 3y = 19
x + y = 8.
2x + 3y = 19 => 3y = – 2x + 19 / : 3 => y = – 2/3x + 19/3.
x + y = 8 => y = – x + 8.