matematika

ucenicki forum


You are not connected. Please login or register

O prirodnim brojevima

Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Go down  Poruka [Stranica 1/1]

1 O prirodnim brojevima on Mon Oct 04, 2010 4:31 am

xy^2

avatar
Admin
Skup prirodnih brojeva oznacavamo sa N={1, 2, …,n,..}
Ovo je beskonacan skup.
Cine ga parni i neparni brojevi.
Parni su; 2,4,…2n, a neparni 1, 3, .., (2n+1)
Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika.
Sljedbenik broja n je n+1. svi prirodni brojevi sem broja 1 imaju svog predhodnika. Predhodnik broja n je broj n-1.
Skupu prirodnih brojeva ne pripada broj 0 (nula). Broj 0 mozemo posmatrati u ovom skupu. To je skup N_0=N U {0}

Brojeve mozemo oznacavati malim slovima (opsti brojevi): a, b,...
Za dva razlicita broja a i b iz N vazi jedna od relacija

a < b (5 < 6)
a = b (7=7)
a > b (6 > 5)




xy^2: komentar modifikovan dana: Mon Oct 04, 2010 4:47 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

2 Re: O prirodnim brojevima on Mon Oct 04, 2010 4:44 am

xy^2

avatar
Admin
Sabrati dva broja a i b znaci naci broj c takav da je
a + b = c
Brojevi a i b su pribrojnici (sumandi), a broj c zbir (suma).
U skupu N_0 za sabiranje vaze sljedece osobine:

1.Nula je neutralni element u odnosu na zsabiranje

a+0=a i 0+a=a.
5+0=5 I 0+5=5


2.Komutativnost sabiranja

a+b=b+a.
5+6=11
6+5=11
5+6=6+5

3.Asocijativnost sabiranja
(a+b)+c = a+(b+c).

(2+6)+ 8= 8 + 8=16
2+(6 + 8 )=2+14=16
(2 + 6)+ 8 = 2+(6 + 8 )

Oduzeti broj b od broja a znaci naci broj c takav da je
a– b = c (a ≥ b)

Oduzimanje u skupu N_0 nije definisano za a<b.
2 - 5

Broj a je umanjenik (minuend), broj b je umanjitelj (suptrahend), a broj c razlika (diferencija).

Za svaki broj a iz skupa N_0 vrijedi:
a – 0 = a i a – a = 0.
4 - 0 = 4
9 - 9= 0

Pomnoziti dva broja a i b znaci naci broj c takav da je
ab=c
Broj a je mnozenik (multiplikand), broj b je mnozitelj (multiplikator), a broj c je proizvod (produkt).

Mnozenik i mnozitelj jednim imenom zovu se faktori.
Mnozenjem brojeva iz skupa prirodnih brojeva dobije su uvijek broj iz skupa prirodnih brojeva

Za mnozenje prirodnih brojeva vrijede sljedece osobine:
1. Broj 1 je neutralni element u odnosu na mnozenje
a•1=a i
1•a=a
3•1=3 1•7=7

2. Ako je mnozitelj ili mnozenik 0 tada je proizvod 0.
a•0=0 i 0•a=0
: 6•0=0 0•2=0

3. Komutativnost množenja
a•b=b•a
5•6=30
6•5=30
5•6=6•5

4. Asocijativnost mnozenja
a•(b•c)=(a•b)•c
2•(4•3)=2•12=24
(2•4)•3=8•3=24
2•(4•3)=(2•4)•3

5. Distributivnost mnozenja prema zbrajanju
(a+b)•c=a•c+b•c
(4 + 3 )•2=7•2=14
4•2+3•2=8+6=14
(4+3)•2=4•2+3•2

6. Distributivnost mnozenja prema oduzimanju
(a-b)•c=a•c-b•c za a≥ b
(12-3)•2=9•2=18
12•2-3•2=24-6=18
(12-3)•2=12•2-3•2

Vidi profil korisnika

3 Re: O prirodnim brojevima on Mon Oct 04, 2010 4:46 am

xy^2

avatar
Admin
Sabiranje i oduzimanje su racunske operacije prvog stepena, a mnozenje i dijeljenje drugog stepena.
Ako u zadatku imamo racunske operacije istoga stepena racunamo ih po redosljedu kako su naznacene.
18-2+4=16+4=20 18:2:3=9:3=3
Ako imamo racunske operacije razlicitih stepena, prvo mnozimo i dijelimo, a zatim sabiremo i oduzimamo.
2+3•4=2+12=14
Ako uzadatku imamo zagrade, najprije izracunavamo ono sto je u njima.
(2+3)•4=5•4=20
U matematici se koriste okrugle (, uglate [ i vitičaste { zagrade. Najprije racunamo ono unutar okruglih zatim unutar uglatih i na kraju unutar viticastih zagrada.

1. jedan pribrojnik= zbir - drugi pribrojnik
a=c-b i b=c-a
1+3=4 → 3=4-1 i 1=4-3
odnosno za jednacine imamo
x+4=8
x=8-4
x=4
2. umanjenik = razlika + umanjitelj
a=c+b
12-3=9 → 12=9+3
Jednacine
x-6=2
x=2+6
x=8
3. umanjitelj = umanjenik - razlika
b=a-c
12-3=9 → 12=9+3 → 3=12-9
Odenosno
16-x=2
16=2+x
x=16-2
x=14
4. Jedan faktor = umnožak : drugi faktor
5. a=c:b i b=c:a
2•4=8 → 2=8:4 → 4=8:2
odnosno
x•5=20
x=20:5
x=4
5. Djeljenik = količnik • djelitelj a=c•b
32:8=4 → 32=4•8
odnosno
x:7=4
x=4•7
x=28
6. Djeljitelj = djeljenik : količnik b=a:c
32:8=4 → 8=32:4
odmosno
28:x=4
x=28:4
x=7

Vidi profil korisnika

4 Re: O prirodnim brojevima on Mon Oct 04, 2010 5:12 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 1

Izracunati vrijednost izraza:
438 + 162 : 6 =
60 : 6 + 4 * 123

Zadatak 2

Izracunati zbir najmanjeg i najveceg trocifrenog broja, koji se sastoji od cifri: 0,2, 6 ako se cifre
ne ponavljaju
ponavljaju

Vidi profil korisnika

5 Re: O prirodnim brojevima on Tue Oct 05, 2010 8:41 am

xy^2

avatar
Admin
xy^2 (citat):Zadatak 1

Izracunati vrijednost izraza:
438 + 162 : 6 =
60 : 6 + 4 * 123

438+162:6=
438+27=465

60:6+4*123=
10+492=502

Vidi profil korisnika

6 Re: O prirodnim brojevima on Tue Oct 05, 2010 8:47 am

xy^2

avatar
Admin
xy^2 (citat):Zadatak 2

Izracunati zbir najmanjeg i najveceg trocifrenog broja, koji se sastoji od cifri: 0,2, 6 ako se cifre
ne ponavljaju
ponavljaju

najveci zadani trocifreno broj je 620, a najmanji 206

620+260=880

Najveci zadani trocifreno broj je 666, a najmanji 200

666+200=866

Vidi profil korisnika

7 Re: O prirodnim brojevima on Tue Oct 05, 2010 8:53 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 3

Postoji li prirodni broj ciji je proizvod cifri 1386.

Zadatak 4

Ucenik je u toku 19 dana rijesio 73 zadatka. Svakog od prvih 11 dana rijesio je po x uzadataka, a svakog od preostalih dana po y zadataka. Odrediti x i y


Zadatak 5

Odrediti cifre x, y tako da broj 1984xv bude djeljiv sa 8 i 9.



xy^2: komentar modifikovan dana: Mon Oct 18, 2010 3:18 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

8 Re: O prirodnim brojevima on Sat Oct 09, 2010 7:21 am

xy^2

avatar
Admin
xy^2 (citat):Zadatak 3

Postoji li prirodni broj ciji je proizvod cifri 1386.

Zadani broj 1386 rastavimo na proste faktore

1386=2*3*3*7*11

Posto su faktori broja 1386 brojevi 81, 2, 3, 3, 7 i 11 on ne moze biti proizvod cifri nekog broja, zato sto cifra broja moze biti jednocifreni a ne dvocifreni broj.

Vidi profil korisnika

9 Re: O prirodnim brojevima on Mon Oct 18, 2010 3:20 am

xy^2

avatar
Admin
xy^2 (citat):

Zadatak 4

Ucenik je u toku 19 dana rijesio 73 zadatka. Svakog od prvih 11 dana rijesio je po x uzadataka, a svakog od preostalih dana po y zadataka. Odrediti x i y


19-11=8
11x + 8y =73
u skupu N ova jednacinaq ima vise rjesenja. Posmatrajmo skup {1,2,3,4,5,6,}

za x=1 imamo 73-11=62 ( nije djeljivo sa 8 )
za x=2 imamo 73-2=51 ( nije djeljivo sa 8 )
za x=3 imamo 73-33=40
za x=4 imamo 73-44=29 ( nije djeljivo sa 8 )
za x=5 imamo 73-55=18 ( nije djeljivo sa 8 )
za x=6 imamo 73-66=7 ( nije djeljivo sa 8 )

iz navedenog vidimo da je samo za x=3 ostatak 8y=40 odnosno
y=5, tj (x, y)=(3,5)

Vidi profil korisnika

10 Re: O prirodnim brojevima on Mon Oct 25, 2010 5:27 am

marika

avatar
moderator
Zadatak 5

Odrediti cifre x, y tako da broj 1984xv bude djeljiv sa 8 i 9.

da bi broj 194xy bio djeljiv sa 9 mora biti
1+9+8+4+x+y=22+x+y djeljiv sa 9
nejmanji takav broj je
22+x+y=27
x+y=5
Ovu jednakost zadovoljavaju parovi brojeva 0, 5; 1, 4; 2,3;3, 2;4, 1; i 5, 0
Odnosno imamo brojeve
198405
198414
198423
198432
198441
198450

Da bi broj biop djeljiv sa 8 y mora biti paran broj i broj xy djeljiv sa 78
odnosno trazeni broj je 198432

Sljedeci broj koji zadovoljava uslov djeljivosti zbira 22+x+y sa 9 je
22+x+y=36
x+y=14
posto x i y moraju biti jednocifreni brojevi broj xy mora biti
68, 86 ili 77
kako ni jedan od ovih brojeva nije djeljiv sa 8 trazeni broj je 198432

Vidi profil korisnika

11 Re: O prirodnim brojevima on Tue Oct 26, 2010 4:37 am

marika

avatar
moderator
RED RACUNSKIH OPERACIJA

U slozenijim zadacima:
1. racunamo izraze u zagradama, a ostalo prepisemo
2. mnozimo i dijelimo, ostalo prepisemo
3. sabiramo i oduzimamo (po redu)

100 – 5*4 - 30 : 6 + 10 – 64:8 =
100-20-5+10-8=
80-5+10-8=
75+10-8=
85-8=
77

Zbog preglednosti i lakseg pracenja rjesavanja zadatka nakon znaka = pozeljno je da idemo u novi red.

Pri rjesavanju zadatka prvo vidimo sta prvo racunamo. U nasem primjeru to je mnozenje i dijeljenje. Podcrtamo sve sto treba da uradimo prvo. To izracunamo a ostalo prepisujemo po redu. Na isti nacin radimo i sljedece redove.


2*4*2 - 81:9-7*5 =
84-9-35 =
75-35 =
40



3*2* 4:8*9 =
6*4:8*9=
24:8*9 =
3*9 =
27

Ako je u zadatku samo sabiranje i oduzimanje, odnosno mnozenje i dijeljenje racunske operacije izvodimo po redu.

3*2*4:8*9 = 27

u ovom slucaju , kad je lako izracunati napamet ne moramo zadatak rjesavati postupno vec ga uradimo napamet

4*2*6+2*7 =
48+14=
62



8*•7–17*3 + 3*3*8 =
56- 51+72 =
5+72 =
77

50-7*7+36:2 =
50-49 +18 =
1+18 =
19

6 302+18-70*90 =
6 302+18-6 300 =
6 320-6 300 =
20

U izrazima koji su zadani sa zagradama imamo

12+(13+14) • (70:10) =
12+27*7 =
12 + 189 =
201

25-(4+3*6) =
25-(4+18) =
25-22 =
3

Ako u zagradi imamo vise racunskih operacija onda prvo u zagradi uradimo racunske operacije isto kao da nema zsagrade stim da zagradu prepisemo a tek onda se oslobadjamo zagrade.
Zagrade smo se oslobodili tek onda kad dobijemo jedan broj kao rezultat izraza u njoj.

25-(4+3*6) =
25-4+18 =
21+18 =
39 ( netacno)

Ovo je primjer sta se dogodi ako jednostavno ispustimo zagradu, odnosno ako ne izracunamo prvo izraz u njoj.

25-(4+3*6) =
=25–(4+18) =
25-22=
3 ( tacno)

zagrade mogu biti
okrugle ( )
uglaste []
viticaste {}



marika: komentar modifikovan dana: Tue Oct 26, 2010 5:04 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

12 Re: O prirodnim brojevima on Tue Oct 26, 2010 4:45 am

marika

avatar
moderator
Kod postavljanja zadatka zagrade se postavljaju na sljedeci nacin {[()]}
Zagrada se oslobadjamo na taj nacin sto prvo izracunamo izraz u maloj , zatim u uglastoj i na kraju u viticastoj zagradi.

30-[31-(20+8 )]*9 =
30-[31-28]*9 =
30-3*9 =
30-27=
= 3

2*{80-[(20*10):(32:8 )]}=
2*{80-[200:4]}
2*{80-50}=
2*30=
60

150-{ 52-[4*(30-6*4):2]}*3 =
150-{52-[4*(30-24):2]}*3 =
150-{52-[4*6:2]}*3=
150-{52-12}*3=
50-40*3=
150-120=
30

Vidi profil korisnika

13 Re: O prirodnim brojevima on Thu Nov 11, 2010 3:49 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 6
Odrediti 5 različitih prirodnih brojeva čiji je proizvod 420 a zbir 20.

Zadatak 7

Dokazati da je za svaki prirodan broj n broj (10^n +35)/45 takođe prirodan broj.

Zadatak 8

Odrediti najmanji sedmocifreni broj djeljiv sa 36 čije su sve cifre različite.

Zadatak 9

Dokazati da je za svaki prirodan broj n, broj n^3+11n djeljiv sa 6.


Zadatak 10.

Ako su u šestocifrenom broju 1. i 4. cifra jednake, 2. i 5. cifra jednake i 3. i 6. cifra jednake dokazati da je taj broj djeljiv sa 7, 11 i 13.



xy^2: komentar modifikovan dana: Thu Nov 11, 2010 4:26 am; prepravljeno ukupno 1 puta

Vidi profil korisnika

14 Re: O prirodnim brojevima on Thu Nov 11, 2010 3:52 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 10.

Ako su u šestocifrenom broju 1. i 4. cifra jednake, 2. i 5. cifra jednake i 3. i 6. cifra jednake dokazati da je taj broj djeljiv sa 7, 11 i 13.

Iz zadanog uslova imamo

10^5x+10^4y+10^3z+10^2x+10y+z
Ako ovaj iskaz rastavimo na proste faktore dobocemo

10^2*x(103+1)+10y*(10^3+1)+z(10^3+1)=
(10^3+1)(10^2x+10y+z)

Iz poslednjeg iskaza imamo broj (10^3+1) kao jedan cinioc proizvoda, Ako je on djeljiv brojevima 7, 11 i 13 onda je i zadani broj djeljiv.

1001:7=143
1001:11=91
1001:13=77

Vidi profil korisnika

15 Re: O prirodnim brojevima on Thu Nov 11, 2010 3:53 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 9

Dokazati da je za svaki prirodan broj n, broj n^3+11n djeljiv sa 6.

1. neka je n=1
1+11( djeljivo sa 6)

n=2

2^3+11*2=8+22=30( djeljivo sa 6)

2. neka je uslov tacan za n=k

3. Dokazimo da vazi za n=k+1

Imamo

(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=
[ k^3+11k] + 12 +3 k^2+3k

Iz posljednjeg iskaza imamo

[ k^3+11k] ( djeljivo sa 6 iz 2)

12 ( djeljivo sa 6) i

3* k^2+3k ( djeljivo sa 3)
Treba dokazati jos da je iskaz

k^2+k (djeljiv sa 2)

k=2
4+2 (djeljivo sa 2)

neka vazi za k=m

m^2+m ( djeljivo sa 2)

Dokazimo za k=m+1

Dokazimo za k=m+1

(m+1)^2+(m+1)=m^2+2m+1+m+1=
m^2+m + 2m+2
Sto znaci da je ovaj iskaz djeljiv sa 2, tj zadani iskaz djeljiv je 6


Vidi profil korisnika

16 Re: O prirodnim brojevima on Thu Nov 11, 2010 3:55 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 8

Odrediti najmanji sedmocifreni broj djeljiv sa 36 čije su sve cifre različite.

Da bi broj bio djeljiv sa 36 on mora biti djeljiv sa 4 i 9.

trazi se sedmocifreni broj i to najmanji sa razlicitim ciframa pa krenimo ispocetka

uzmimo cifre od 0 do 6( njihov zbir je 6*7/2=21 i nije djeljiv sa 9)
za brojeve od 1 do 7 zbir je 7*8/2=28 opet nije

posmatrajmo brojeve

0,2,3,4,5,6,7 njihov zbir je 7*8/2 -1 =28-1=27 koji je djeljiv sa 9

broj koji bi dobili na ovaj nacin ne ispunjava uslov djeljivosti sa 4
posmatrajmo niz brojeva
1, 2, 3, 6, 7, 8, 9
Njihov zbir je 36 odnosno djeljiv je sa 9.
Kako je broj djeljiv sa 4 u ovom slucaju mora zavrsavati sa cifrom 8. Najmanji takav broj je

1236798 ali ne ispunjava uslov da bi ispunio uslov cifra ispred mora biti paran broj odnosno 2 ili 6.

2 nije. da jeste ne bi dobili najmanji broj zato je 6

Vidi profil korisnika

17 Re: O prirodnim brojevima on Thu Nov 11, 2010 4:28 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 7

Dokazati da je za svaki prirodan broj n broj (10^n +35)/45 takođe prirodan broj.
Posmatrajmo broj 10^n+35
za n=1 imamo 10+35=45 djeljivo sa 45

za n=2 imamo 100+35=135 djeljivo sa 45

posmatrajmo za n, zadani broj sastoji se od cifri 1,0,...0, 3. i 5
saberemo li te cifre 1+0+0+...+0+3+5=9 ( djeljivo je sa 9)
zadani broj zavrsava sa cifrom 5 sto znaci da je djeljiv i sa 5
odnosno
9*5=45
Zadani broj 10^n+35 djeljiv je sa 45.

Vidi profil korisnika

18 Re: O prirodnim brojevima on Thu Nov 11, 2010 4:31 am

xy^2

avatar
Admin
Zadatak 6
Odrediti 5 različitih prirodnih brojeva čiji je proizvod 420 a zbir 20.

Rastavimo broj 420 na proste faktore
420=1*2*2*3*5*7

7+5+4+3+1=20

Vidi profil korisnika

19 Re: O prirodnim brojevima on Fri Mar 04, 2011 11:32 pm

xy^2

avatar
Admin
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 101 * 50 = 5050

SAVRSENI BROJ je broj kod kojeg je zbir svih njegovih djelitelja (osim njega samog) jednak njemu samom.

posmatrajmo brojeve 6, 28, 496

Broj 6 djeljiv je sa 1, 2 i 3.
1 + 2 + 3 = 6

Broj 28 djeliteljiv je sa: 1, 2, 4, 7 i 14
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Broj 496 djeliteljiv je sa: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 i 248
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496


PROST BROJ je broj koji je djeljiv samo sa 1 i sa samim sobom.
Prosti brojevi cija je razlika dva zovu se BROJEVI BLIZANCI.


Brojevi blizanci su npr. brojevi:
a) 5 i 7
b) 11 i 13
c) 17 i 19


PRIJATELJSKI BROJEVI su parovi brojeva sa osobinom da je svaki od njih jednak zbiru svih djelitelja (osim njega samoga) svog broja prijatelja.


Prijateljski brojevi su 220 i 284.
Djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
Djelitelji broja 284 su: 1, 2, 4, 71, 142

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Zanimljivi primjeri

12345679 * 9 = 111111111
12345679 * 18 = 222222222
12345679 * 27 = 333333333
12345679 * 36 = 444444444
12345679 * 45 = 555555555
12345679 * 54 = 666666666
12345679 * 63 = 777777777
12345679 * 72 = 888888888
12345679 * 81 = 999999999

0 * 9 + 1 = 1
1 * 9 + 2 = 11
12 * 9 + 3 = 111
123 * 9 + 4 = 1111
1234 * 9 + 5 = 11111
12345 * 9 + 6 = 111111
123456 * 9 + 7 = 1111111
1234567 * 9 + 8 = 11111111
12345678 * 9 + 9 = 111111111
123456789 * 9 + 10 = 1111111111

0 * 9 + 8 = 8
9 * 9 + 7 = 88
98 * 9 + 6 = 888
987 * 9 + 5 = 8888
9876 * 9 + 4 = 88888
98765 * 9 + 3 = 888888
987654 * 9 + 2 = 8888888
9876543 * 9 + 1 = 88888888
98765432 * 9 + 0 = 888888888
987654321 * 9 - 1 = 8888888888

42 = 16
342 = 1156
3342 = 111556
33342 = 11115556
333342 = 1111155556
3333342 = 111111555556
33333342 = 11111115555556
333333342 = 1111111155555556
3333333342 = 111111111555555556
33333333342 = 11111111115555555556
333333333342 = 1111111111155555555556
3333333333342 = 111111111111555555555556
33333333333342 = 11111111111115555555555556
i tako dalje...


100 = 111 - 11
100 = 99 + 9 : 9
100 = 9 * 9 + 9 + 9 + 9 : 9
100 = 33 * 3 + 3 : 3
100 = 5 * 5 * 5 - 5 * 5
100 = ( 5 + 5 + 5 +5 ) * 5
100 = ( 5 * 5 - 5 ) * 5
100 = ( 5 + 5 ) * ( 5 + 5)
100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9
100 = 123 - 45 - 67 + 89
100 = 12 : 3 + 4 * 5 - 6 - 7 + 89

4 - 4 + 4 - 4 = 0
4 - 4 + ( 4 : 4 ) = 1
( 4 * 4 ) : (4 + 4) = 2
( 4 + 4 + 4 ) : 4 = 3
( 4 - 4 ) * 4 + 4 = 4
( 4 * 4 + 4 ) : 4 = 5
( 4 + 4 ) : 4 + 4 = 6
4 + 4 - ( 4 : 4 ) = 7
4 + 4 + 4 - 4 = 8
4 + 4 + ( 4 : 4 ) = 9

1973 = 1111 : 11 + 1111 * ( 1 + 1 ) - ( 11 + 11 + 11 ) * 11 + 11 + 1 + 1
1973 = 2222 - 222 - 22 - 2 * 2 - 2 : 2
1973 = 333 * ( 3 + 3 ) - 33 + 3 * 3 - 3 : 3
1973 = 44 * 44 + 44 - 4 - 4 + 4 : 4
1973 = 55 * 55 - 555 - 555 + 55 + ( 5 + 5 + 5 ) : 5
1973 = 6 * 6 * 6 * 6 + 666 + 66 : 6
1973 = 7777 : 7 + 777 + 77 + 7 + 7 : 7
1973 = ( 8 + 8 + 8 ) * 88 - ( 8 + 8 ) * 8 - 8 - ( 8 + 8 + 8 ) : 8
1973 = 99 * 9 + ( 99 - 9 ) * 9 + 9 * ( 9 + 9 ) + ( 999 - 9 ) : 9

9 + 9 = 18 dok je 9 * 9 = 81
24 + 3 = 27 dok je 24 * 3 = 72
47 + 2 = 49 dok je 47 * 2 = 94
263 + 2 = 265 dok je 263 * 2 = 526
497 + 2 = 499 dok je 497 * 2 = 994

1 = 1 * 1 / 1
121 = 22 * 22 / ( 1 + 2 + 1 )
12321 = 333 * 333 / ( 1 + 2 + 3 + 2 + 1 )
1234321 = 4444 * 4444 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 )
123454321 = 55555 * 55555 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
12345654321 = 666666 * 666666 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
1234567654321 = 7777777 * 7777777 / ( 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
i tako dalje...

Vidi profil korisnika

20 Re: O prirodnim brojevima on Sun Mar 06, 2011 12:24 am

xy^2

avatar
Admin
Uzmimo neki cetverocifreni broj.

1.Poredajmo cifre u tom broju u rastuci niz (od najmanje prema najvecoj).
2.Poredajmo cifre u tom broju u opadajuci niz (od najvece prema najmanjoj).
3. Oduzmimo manji broj od vecega.

S dobivenim rezultatom ponovljamo korake 1 do 3

Posmatrajmo broj 4482. Imamo dva broja 2448 i 8442
8442 - 2448 = 5994
postupak ponavljamo i imamo
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 288 = 8532 (nulu na prvom mjestu izostavljamo)
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1476 = 6174
Broj 6174 se ponavlja

Vidi profil korisnika

21 Re: O prirodnim brojevima on Sun Dec 18, 2011 12:42 am

xy^2

avatar
Admin
Ostatak koji dobijemo kada broj 2519
dijelimo brojevima od 1 do 10.

2519 dijelimo sa 2 - ostatak 1
2519 dijelimo sa 3 – ostatak 2
2519 dijelimo sa 4 - ostatak 3
2519 dijelimo sa 5 - ostatak 4
2519 dijelimo sa 6 – ostatak 5
2519 dijelimo sa 7- ostatak 6
2519 dijelimo sa 8 - ostatak 7
2519 dijelimo sa 9 - ostatak 8
2519 dijelimo sa 10- ostatak 9

Vidi profil korisnika

22 Re: O prirodnim brojevima on Thu Jan 17, 2013 11:24 am

xy^2

avatar
Admin
Koji brojevi imaju tacno 3 djeljitelja

Skup prirodnih brojeva mozemo podijeliti na:
- prirodne brojeve s tacno jednim djeliteljem
- prirodne brojeve s tacno dva (razlicita) djelitelja
- prirodne brojeve s tačno tri (razlicita) djelitelja
- prirodne brojeve s tacno 4 (razlicita) djelitelja
- itd
U prvu skupinu (samo jedan djelitelj) spada samo prirodni broj 1.
Prirodne brojeve koji imaju tačno 2 razlicita djelitelja zovemo prostima ili prim brojevima. To su brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13,... odnosno to su oni brojevi koji su djeljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom, te nemaju drugih djelitelja. Ti prosti brojevi su neobično važni za matematiku ,
Prirodne brojeve koji imaju tačno 3 djelitelja mozemo dobiti tako da kvadriramo prosti broj.
Primjer
52=25
Djelitelji broja 25 su brpjevi 1,5 i 25.

Znaci
KVADRATI PROSTIH BROJEVA IMAJU TAČNO 3 RAZLIČITA DJELITELJA.

Jedini parni broj s tri djelitelja je 4. To proizlazi iz cinjenice da je kvadrat parnog broja paran, a kvadrat neparnog neparan, te da samo kvadrati prostih brojeva imaju 3 djelitelja, te činjenice da je 2 jedini paran prost broj
Prirodne brojeve koji imaju četiri djelitelja lako dobijemo tako da pomnozimo dva razlicita prosta broja. Npr.
2 * 3 = 6, a djelitelji broja 6 su 1,2,3,6.

Vidi profil korisnika

23 Re: O prirodnim brojevima on Tue Jun 28, 2016 10:28 am

xy^2

avatar
Admin
Uredjenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x, y katete, a z hipotenuza nekog pravouglog trougla, tj. ako vrijedi

x^2 + y^2 = z^2

Ako su x, y, z relativno prosti, onda kazemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. (Takav trougao zovemo (primitivni) Pitagorin trougao.

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojki tacno jedan od brojeva x, y je neparan.

Postoji jedinstvena Pitagorina trojka

(n - 1,n,n + 1), iz N,n > 1...

Dokaz. Prema Pitagorinom teoremu imamo:

(n-1)^2 + n^2 = (n + 1)^2.

Primjenjujuci osnovne operacije imamo

n^2-2n+1+n^2=n^2+2n+1

n^2 = 4n, tj. n = 4.

Jedinstvena Pitagorina trojka oblika

(n-1, n, n + 1) je (3, 4, 5).

Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z) u kojima je y paran, date su formulama

Vidi profil korisnika

24 Re: O prirodnim brojevima on Tue Jun 28, 2016 10:29 am

xy^2

avatar
Admin
Prirodni brojevi a i b cine prijateljski par brojeva ako je zbir pravih djelitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i istovremeno zbir pravih djelitelja broja b jednak je broju a.

Najmanji je (220, 284). Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je 284. Zbir pravih djelitelja broja 284 je jednak 220.

Poznati francuski matematiar Ferma nasao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17 296, 18 416). Zajedno sa Dekartom, Ferma je otkrio pravilo za formiranje takvih parova.

U 18. vijeku Ojler je objavio spisak od 64 para prijateljskih brojeva, medju kojima su dva bila pogresna. Sesnaestogodisnji Italijan Paganini nasao je 1867. godine par prijateljskih brojeva (1 184, 1 210) koji su daleko manji od Fermaovih.

Uz pomoc racunara danas je pronadjeno vise od 600 prijateljskih parova. Prvo mjesto na listi zauzima (220,284), iza njega je Paganinijev (1 184, 1 210), zatim dolazi (2 620, 2 924) itd. Fermaov par je tek na 8. mjestu.

Svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba su parna ili, sto je mnogo redje, oba neparna. Nije poznato da li postoji mjesovit par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Nije poznata formula za sve prijteljske parove, niti se zna da li ih ima konacno ili beskonacno mnogo.

220 i 284
1184 i 1210
2620 i 2924
5020 i 5564
6232 i 6368
10744 i 10856
12285 i 14595
17296 i 18416
63020 i 76084
66928 i 66992
67095 i 71145
69615 i 87633
79750 i 88730
100485 i 124155
122265 i 139815
122368 i 123152
141664 i 153176
142310 i 168730
171856 i 176336
176272 i 180848
185368 i 203432
196724 i 202444
280540 i 365084
308620 i 389924
319550 i 430402
356408 i 399592
437456 i 455344
469028 i 486178
503056 i 514736
522405 i 525915
600392 i 669688
609928 i 686072
624184 i 691256
635624 i 712216
643336 i 652664
667964 i 783556
726104 i 796696
802725 i 863835
879712 i 901424
898216 i 980984

Vidi profil korisnika

25 Re: O prirodnim brojevima on Tue Jun 28, 2016 10:55 am

xy^2

avatar
Admin
Zanimljive Pitagorine trojke su i one čije su katete susjedni brojevi. Uošsteno bismo ih mogli zapisati (x, x + 1, z) Pitagorinih trojki oblika (x, x + 1, z) ima beskonačno mnogo.

Dokaz

Neka su x i z prirodni brojevi, te neka je (x, x + 1, z) Pitagorina trojka. Tada postoji Pitagorina trojka (3x+2z +1, 3x+2z +2, 4x+3z +2)

Pokažimo da je ova trojka Pitagorina.

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 18x^2 + 24xz + 8z^2 + 18x + 12z + 5

x^2 + (x + 1)^2 = z^2 => 2x^2 + 2x + 1 = z^2 =>

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 16x^2 + 24xz + 9z^2 + 16x + 12z + 4= (4x + 3z + 2)^2

(3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2) je Pitagorina trojka.

Iz svake Pitagorine trojke (x, x+1, z), kod koje su katete susjedni brojevi, možemo dobiti Pitagorinu trojku

f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2)

s dužim stranicama, čije su katete također susjedni brojevi. Za trougao (3, 4, 5) na taj način dobijemo trougao sa stranicama dužine (20, 21, 29).

(3* 3 + 2 * 5 + 1 = 20, 21, 4 * 3 + 3 * 5 + 2 = 29).
Definišimo brojeve u = z + y i v = z-y, uz pretpostavku teoreme z je neparan, a y paran. Tada su u i v neparni. Kako su y i z relativno prosti, a z je neparan, u i v su relativno prosti.

Iz jednačine

x2 = (z + y)(z-y)=> x2 = uv, postoje relativno prosti (neparni) prirodni brojevi k, l takvi da je u = k2, v = l2. Tako dobijamo tražene jednačine
x=kl

y=(k2-l2) /2

z=(k2-l2) /2


Jedan od mogućih pravilnih redosljeda dobijanja svih primitivnih Pitagorinih trojki pomoću tih formula dobijemo rednim uzimanjem neparnih brojeva 3, 5, 7, 9 . . . za k, i za svaki od njih sve neparne brojeve za l, koji su manji od k i relativno prosti s njim.

Vidi profil korisnika

Sponsored content


Vidi prethodnu temu Vidi sljedeću temu Na vrh  Poruka [Stranica 1/1]

Permissions in this forum:
Ne možete odgovoriti na teme ili komentare u ovom forumu